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By Dietrich Voelker Dr. Rer. Nat., Gustav Doetsch O. Univ.-Prof. (auth.)

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Der zweite Teil folgt auf analogem Wege. Satz 5 zeigt z. , daß uavb (a, b ~ 0) oder sin uv, aber auch e-u-v keine (absolut konvergente) E 2- Transformierte ist, denn e-u- v, strebt für u-+ oo bei festem Realteil nicht gegen 0. § 5. Die Abbildung der linearen Substitution in der Originalund Bildfunktion Wie bei der eindimensionalen E-Transformation äußert sich auch bei der zweidimensionalen jede Operation an der Originalfunktion in einer gewissen Operation an der Bildfunktion und umgekehrt. Ein Beispiellieferte bereits Satz 3, der besagt, daß der partiellen Differentiation der Bildfunktion die Multiplikation der Originalfunktion mit Potenzen von -x und -y entspricht.

Damit erhält man insgesamt zu (5) die Überfunktion: X (6)F(x,y)=e-fY A(x-~)+e-qxB(y-px)+ Je-q~(/)(x-~,y-p~)d~, 0 wobei die Funktionen A, B und (/) für negative Argumente durch 0 zu definieren sind, so daß in dem Integral die obere Grenze in Wahrheit Min ( x, ~) lautet. Obwohl die Herstellung der Lösung ziemlich einfach vor sich geht, bleibt unbefriedigend, daß sie nur für p > 0 möglich ist und daß der innere Grund dieser Einschränkung nicht ersichtlich wird. Die Methode der E 2 - Transformation wird nun die Aufklärung bringen und zugleich das Problem auf noch einfacherem 42 Lösung von partiellen Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Variablen Wege bewältigen, insofern als nicht einmal mehr eine gewöhnliche Differentialgleichung, sondern nur eine lineare algebraische Gleichung gelöst zu werden braucht.

Für a 1 = 1, a 2 = 0, aa = a; h1 = 0, h2 = 1, Da= ß ergibt sich: Satz 8 (Dämpfungssatz): Ist f(u, v) •~o F(x,y), so ist f(u+ a, v+ ß) •~o e-ax-ßy F(x,y) für komplexe a, ß. In Satz 6 erfahren die Variablen von F eine lineare homogene Substitution, bei der der Nullpunkt fest bleibt. Nimmt man mit den Variabeln eine Translation vor, so ist das Ergebnis unmittelbar aus dem Verschiebungssatz für die ßTransformation in§ 1 abzuleiten. Satz 9 (Verschiebungssatz): Istf(u, v) e-c,u-c,v ·~o F(x,y), so ist f(u, v) •-o F(x- c1 ,y- c2 ) für c1 ~ 0, C2 ~ O, wobei F gleich 0 t_U sett_en ist, wenn mindestens eines der Argumente negativ ausfällt.

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