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By Martin Möller

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12 Produkte von Schurpolynomen sind durch folgende, erzeugende Funktion gegeben: k 1 Sλ (X)Sλ (Y ) = . (1 − Xi Yj ) i,j=1 ℓ(λ)≤k Beweis : Wir zeigen zunächst folgende Formel, die auf Cauchy zurückgeht. Es ist det 1 1 − Xi Y j ∆(X)∆(Y ) = k . (4) (1 − Xi Yj ) i,j=1 Der Beweis davon ist durch Induktion nach k. Unter Verwendung von 1 1 Xi − X1 Yj − = · 1 − Xi Y j 1 − X1 Y j 1 − X1 Y j 1 − Xi Y j ziehen wir die erste Zeile der Matrix in der Determinante von allen anderen Zeilen ab. Den ersten Bruch auf der rechten Seite können wir aus allen Zeilen und Spalten rausziehen.

Xk , wobei k mindestens die Länge der Partition λ ist, zu der man gerade χλ berechnen will. Mehr Variablen zu nehmen, macht das Ausrechnen aufwendiger. Für theoretische Resultate ist es oft wichtig, dass das Resultat davon unabhängig ist. Wir schreiben X für X1 , . . , Xk . Zunächst erinnern wir an die Vandermonde-Determinante bzw. an die Diskriminante 1 Xk · · · Xkk−1 .. ∆(X) = ... = . 1 1 X1 · · · X1k−1 σ(1)−1 sgn(σ)Xk (Xi − Xj ) = σ(k)−1 · . . · X1 σ∈Sk i

Als Vorbereitung ein Lemma, in dem wir einen weiteren Satz Variablen Y1 , . . , Yk benötigen. 12 Produkte von Schurpolynomen sind durch folgende, erzeugende Funktion gegeben: k 1 Sλ (X)Sλ (Y ) = . (1 − Xi Yj ) i,j=1 ℓ(λ)≤k Beweis : Wir zeigen zunächst folgende Formel, die auf Cauchy zurückgeht. Es ist det 1 1 − Xi Y j ∆(X)∆(Y ) = k . (4) (1 − Xi Yj ) i,j=1 Der Beweis davon ist durch Induktion nach k. Unter Verwendung von 1 1 Xi − X1 Yj − = · 1 − Xi Y j 1 − X1 Y j 1 − X1 Y j 1 − Xi Y j ziehen wir die erste Zeile der Matrix in der Determinante von allen anderen Zeilen ab.

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