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By Professor Gert Böhme (auth.)

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Losung: Man setze u =x dv = cosxdx } => du v = dx = sin x und erhalt nach der Formel der Produktintegration Sx cos x dx = x sin x - Ssin x dx = x sin x + cos x + C• 28 1. Integralrechnung 2. Gesucht ist f (3x - 7)e- x dx. LOsung: Man setze u = 3X-71 dv = e = du = 3dx -x dx v = -e -x und bekommt ) J ( 3x - 7 e -x dx = - (3x - 7 ) e -x + J 3e -x dx = - ( 3x - 7 ) e -x - 3e -x + C = - (3x - 4)e -x + C • LOsung: Wir schreiben f sin2 x dx = f sin x sin x dx und setzen u = sinx }= dv = sinxdx du = cosxdx v = -cos x i damit folgt J sin 2x dx = -sin x cos x + J cos 2x dx = -sin x cos x + J dx - J sin 2x dx = 2 J sin 2xdx = -sin x cosx + x + C JSin 2xdx = 4.

1V x 2 - 6x + 4 '/ + C 1 f d Vx 2 - 8' =3 Vx 2 - 8 ' + C. In diesem FaIle ist also die Substitution iiberfliissig, da der Integrand unmittelbar als Differential der im Nenner stehenden Wurzel geschrieben werden kann (vgl. 5; Ableitung einer Quadratwurzel-Funktion). Aufgaben zum 6. TyPus 1 • fV 6x - 7 dx 4x 2 - 12x + 5 I 1. Integralrechnung 24 2. 3. I I (1/ (x - 5) V(x 2 - 10x + 21) 5 'dx x2 + : : _ 4') 3 7. Typus: Substitution: x = a sinh t => =a dx cosh t dt t = ar sinh ~ a => Damit ergibt sich fUr den Radikanden x2 + a2 = a 2.

42 1. Integralrechnung Vorgelegt: f ~~~~ dx . 2)2 + S~] ..... 1), die des zweiten Bruches auf einen Arkustangens (Grundintegral! ,2 Formale Integrationsmethoden f Ax + B (x - Of) 2 + ~ 2 dx - c 43 f 2(x (x - = C In [( x 1 oder nach Einsetzen von C = 2' A und D = f Of )dx Of) + II + ~ )2+ Of Of A Ax 2 +B -.! f 2 2+ ~ dx ~ 2] + D 'f (x ; Of) Arc tan 2 + 1 X-Of -~- +K +B ~2J + otA II+ B A ta nx---Of+ K rc II +~ Die Koeffizienten Ai' Bi der einzelnen Teilbriiche k6nnen wieder durch Multiplikation der Ansatzgleichung mit dem Hauptnenner und nachfolgendes Einsetzen spezieller x-Werte oder, nach vorangegangenem Ordnen nach Potenzen von x, durch Koeffizientenvergleich gewonnen werden.

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