By Kurt-Ulrich Witt
Informatikerinnen und Informatiker aller Fachrichtungen müssen die grundlegenden Konzepte, Methoden und Verfahren, die der Entwicklung und dem Einsatz von Informations- und Kommunikationstechnologien zugrunde liegen, verstehen und bei der Lösung von Problemen anwenden können. Das Buch stellt die algebraischen und zahlentheoretischen Grundlagen dafür vor und wendet diese bei der Lösung praktischer Problemstellungen, wie modulare Arithmetik, Primzahltests und Verschlüsselung an. Das Verständnis der Begriffe und deren Zusammenhänge und Zusammenwirken wird u.a. durch Lernziele, integrierte Übungsaufgaben mit Musterlösungen und Marginalien unterstützt. Das Buch ist zum Selbststudium intestine geeignet.
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Fasst man die in dieser Darstellung m¨oglicherweise vorkommenden gleichen Primfaktoren zu Potenzen zusammen und ordnet die Primfaktoren der Gr¨oße nach, so erh¨alt man die eindeutige Darstellung k α α α α a = p 1 1 p 2 2 . . pk k = pi i i=1 Kanonische Faktorisierung Qudratfreie Faktorisierung mit den Primfaktoren p1 < p2 < . . < pk und Exponenten αi ∈ N, 1 ≤ i ≤ k. Diese Darstellung heißt auch die kanonische Primfaktorzerlegung von a. Gilt αi = 1 f¨ur alle i, 1 ≤ i ≤ k, dann heißt die Primfaktorzerlegung quadratfrei.
4 a) Sei G eine Gruppe und a ∈ G, dann heißt a die von a erzeugte zyklische Untergruppe von G. Generator Primitives Element b) Sei G eine Gruppe. Gibt es ein g ∈ G mit g = G, dann heißt G zyklisch, und g ist ein Generator (auch primitves Element) von G. 3 Es sei Z5 = ({1, 2, 3, 4} , ·) die multiplikative Gruppe modulo 5 aus Abbildung 8. F¨ur diese gilt: 1 = {1} ∗ 2 = {1, 2, 4, 3} = Z5 ∗ 3 = {1, 3, 4, 2} = Z5 4 = {1, 4} ∗ ✷ Z5 ist eine zyklische Gruppe mit den Generatoren 2 und 3. 18 (1) Berechnen Sie alle zyklischen Untergruppen der multiplikativen Grup∗ pe Z7 modulo 7!
Wir werden in diesem Abschnitt sehen, dass diese – auch f¨ur viele Anwendungen – wesentliche Eigenschaft von endlichen Gruppen allgemein gilt. 3 angek¨undigt – das Rechnen mit Aquivalenzklassen. 5 Sei G = (M, ∗) eine Gruppe, U ⊆ M und GU ✂ G sowie a ∈ G. a) Dann heißt Linksnebenklasse a ∗ GU = { a ∗ x | x ∈ GU } Linksnebenklasse von GU , und Rechtsnebenklasse GU ∗ a = { x ∗ a | x ∈ GU } Rechtsnebenklasse von GU . G/GU = { a ∗ U | a ∈ G } ist die Menge aller Linsknebenklassen von GU und GU\G = { U ∗ a | a ∈ G } die Menge der Rechtsnebenklassen von GU .